Teorema di Bayes: quello che devi sapere sulla probabilità condizionata

Sei alla ricerca di informazioni sul teorema di Bayes?

Sei nel posto giusto: in questa guida troverai una serie di informazioni utili su questo teorema, noto anche come formula di Bayes o teorema della probabilità delle cause, proposto proprio da Thomas Bayes.

Questa formula deriva da due teoremi fondamentali delle probabilità: il teorema della probabilità composta e il teorema della probabilità assoluta. Il teorema di Bayes, infatti, lega la misura di probabilità condizionata di un evento, detta “a posteriori”, alla misura di probabilità dello stesso evento, detta “a priori”.

Ne deduciamo che questo viene impiegato per calcolare la probabilità di una causa che ha scatenato l’evento verificato. Per esempio si può calcolare la probabilità che una certa persona soffra della malattia per cui ha eseguito il test diagnostico (nel caso in cui questo sia risultato negativo) o viceversa non sia affetta da tale malattia (nel caso in cui il test sia risultato positivo), conoscendo la frequenza con cui si presenta la malattia e la percentuale di efficacia del test diagnostico.

Dal punto di vista formale,  il teorema di Bayes è valido in tutte le interpretazioni della probabilità. Tuttavia, questo teorema è talmente rilevante per la statistica che la divisione tra le due scuole (statistica bayesiana e statistica frequentista) nasce dall’interpretazione che si dà al teorema stesso.

Ma vediamo ora quello che devi sapere sulla formula di Bayes.

Informazioni utili e caratteristiche della formula di Bayes

Il teorema o formula di Bayes è un importante punto fermo nel calcolo delle probabilità. Sebbene il suo nome sia dovuto al ministro presbiteriano Thomas Bayes (1701 – 1761), che lo dimostrò in un suo scritto pubblicato postumo nel 1763, il problema cui tale formula si riferisce era noto anche prima: tratta infatti della probabilità condizionata.

Ecco tutte le informazioni che devi conoscere sul teorema di Thomas Bayes.

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Definizione

La prima cosa da trattare in questa guida è proprio la definizione del teorema di Bayes, illustrandone le caratteristiche peculiari.

Dati due eventi A e B, e sia B un evento possibile, ossia tale per cui la probabilità che si verifichi non sia nulla: P(B)≠0. Se A∩B indica l’intersezione dei due eventi, cioè l’evento “si sono verificati sia A sia B”, definiamo la misura di probabilità condizionata P(A|B), che si legge “probabilità di A condizionata da B”, come

P(A|B)=P(A∩B)P(B)

Sottolineiamo che è fondamentale che sussista la condizione P(B)≠0, altrimenti staremmo dividendo per 0, il che non è ammissibile.

Questa definizione può anche essere riscritta in una forma più utile per gli esercizi:

P(A|B)⋅P(B)=P(A∩B)

La formula precedente funziona anche nell’ipotesi in cui P(B)=0.

La probabilità P(A|B) viene definita “a posteriori” in quanto consente di calcolare la probabilità di A, sapendo che si è verificato (o si verificherà con certezza assoluta) B.

La probabilità P(A) si dice invece “a priori” perché non è condizionata da alcun altro evento o da alcuna conoscenza che potremmo avere sul suo verificarsi.

Esempio

Se sei alla ricerca di esercizi svolti sulla probabilità, abbiamo qualcosa di meglio per te: ecco un esempio dell’applicazione del teorema di Bayes.

Supponiamo che vi sia una scuola che ha il 60% di studenti maschi e il 40% di studentesse femmine. Le studentesse indossano in egual numero gonne o pantaloni; gli studenti indossano tutti quanti i pantaloni.

Un osservatore, da lontano, nota un generico studente coi pantaloni. Qual è la probabilità che quello studente sia una femmina?

La risposta può essere trovata attraverso la formula di Bayes, ponendo che:

• A rappresenti l’evento che lo studente osservato sia femmina
• B rappresenti l’evento che lo studente osservato indossi i pantaloni.

Per calcolare P(A|B), le informazioni da reperire sono:

• P(A), cioè la probabilità che lo studente sia femmina senza nessun’altra informazione. Considerando che l’osservatore vede uno studente a caso, tutti gli studenti hanno la stessa probabilità di essere osservati.Essendo le studentesse il 40% del totale, la probabilità risulterà 2/5
• P(A’), ossia la probabilità che lo studente sia maschio senza nessun’altra informazione. Essendo A’ l’evento complementare di A, risulta 3/5
• P(B|A), ovvero la probabilità che uno studente femmina indossi i pantaloni (ossia la probabilità che, verificato l’evento che lo studente sia femmina, si verifichi l’evento che indossi i pantaloni). Poiché indossano gonne e pantaloni in egual numero, la probabilità sarà di 1/2
• P(B|A’), ovvero la probabilità che uno studente indossi i pantaloni, noto che lo studente è maschio. Tutti gli studenti maschi indossano i pantaloni, quindi vale 1.
• P(B), ovvero la probabilità che uno studente qualsiasi (maschio o femmina) indossi i pantaloni. Poiché il numero di coloro che indossa i pantaloni è di 80 (60 maschi + 20 femmine) su 100 studenti fra maschi e femmine, la probabilità P(B) è di 80/100 = 4/5.

Ciò detto, possiamo applicare il teorema:

Hai le idee più chiare su che cos’è il teorema di Bayes e a quali domande risponde? Siamo certi che, grazie a questo approfondimento dell’Università Niccolò Cusano, riuscirai ad avere sottomano tutte le informazioni che ti servono per capire qualcosa in più sul mondo delle probabilità.